Soit \(n) un entier strictement positif alors la fonction qui  tout rel positif ou nul \(x) associe \(x^n) est
dfinie, continue et strictement croissante sur &#91;0 ; \(+\infty )&#91 et l'ensemble des images
est \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\).
<h3 class="l2w_content thm">Consquences</h3><div class="l2w_content thm">
Si \(a \ge 0) et si \(n \in \NN^*), l'quation \(x^n = a) admet une solution
  et une seule dans \(\rbrack 0 ; +\infty \lbrack\) qui est appele
  la racine \(n)<sup>ime</sup> de \(a).<br>
Si \(a) et \(b) sont des rels positifs, si \(n \in \NN^*) et si \(a^n=b^n) alors \(b=a).
</div>
<h3 class="l2w_content defn">Dfinition</h3><div class="l2w_content defn">
Si \(a \in \rbrack 0 ; +\infty \lbrack\) et \(n \in \NN^*),
 on note \(\root{n}{a}) l'unique solution relle positive ou nulle de l'quation \(x^n=a).
</div>
<p>Ceci permet de calculer le taux annuel moyen ou le taux mensuel moyen.</p>
Si \(a \gt 0\) alors \((\root{4}{a^3})^100 = (a^3)^25 = a^75 = (\root{100}{a^75})^100\),
donc \(\root{4}{a^3} = \root{100}{a^75}) ;
or \(\frac{3}{4} = \frac{75}{100}), d'o l'ide d'crire
\(\root{4}{a^3} = a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{75}{100}}= \root{100}{a^75})
et plus gnralement de noter la racine de \(a) par \(a^{\frac{1}{n}}).
<h3 class="l2w_content defn">Dfinition</h3><div class="l2w_content defn">
Si \(a \in \rbrack 0 ; +\infty \lbrack\) et \(n \in \NN^*),
on note \(a^{1/n}) l'unique solution relle positive ou nulle de l'quation \(x^n=a).
</div>
Ainsi \(\root{n}{a} = a^{1/n}) mais \(0^0) n'est pas dfini.
On dmontre en exercice la cohrence de cette notation et que les rgles
sur les puissances entires s'appliquent aussi
 aux puissances rationnelles de nombres rels strictement positifs.
On dfinit ainsi \(a^{p/n} = \root{n}{a^p}) et \(a^{-p/n} = \frac{1}{\root{n}{a^p}})
pour \(a \gt) 0.
