\def{integer a=randint(2..5)}
\def{integer xS=randint(6..10)}
\def{integer yS=randint(11..20)}
<p class="decal">
L'expression d'un trinme est sous la forme canonique si elle est crite \(a(x-x_S)^2+y_S) o \(a \ne 0).<br>
Nous allons dmontrer que si \(a \gt 0), \(y_S) est le minimum du trinme sur \(\,\RR) et que<br>
si \(a \lt 0), \(y_S) est le maximum du trinme sur \(\,\RR).<br>
Nous effectuons cette dmonstration sur des exemples, puis dans le cas gnral.</p>
<table cellpadding=10 border=1><tr><td>
Dmontrons que \yS est le maximum de \(-\a*(x-\xS)^2+\yS) sur \(\,\RR).
</td>
<td>
Dmontrons que \yS est le minimum de \(\a*(x-\xS)^2+\yS) sur \(\,\RR).
</td>
</tr></tr>
<td>
 \((x-\xS)^2) est un carr donc est positif ou nul<br>
donc \(\a*(x-\xS)^2) est aussi positif ou nul.<br>
Dans \(-\a*(x-\xS)^2+\yS), on retranche un nombre positif ou nul  \yS<br>
Le rsultat est donc infrieur ou gal  \yS.<br>
Par ailleurs, si \(x=\xS) alors \(-\a*(x-\xS)^2+\yS=\yS).<br>
Cela achve de dmontrer que :<br>
\yS est le maximum de \(-\a*(x-\xS)^2+\yS) sur \(\,\RR).
</td><td>
 \((x-\xS)^2) est un carr donc est positif ou nul<br>
donc \(\a*(x-\xS)^2) est aussi positif ou nul.<br>
Dans \(\a*(x-\xS)^2+\yS), on ajoute un nombre positif ou nul  \yS<br>
Le rsultat est donc suprieur ou gal  \yS.<br>
Par ailleurs, si \(x=\xS) alors \(\a*(x-\xS)^2+\yS=\yS).<br>
Cela achve de dmontrer que :<br>
\yS est le minimum de \(\a*(x-\xS)^2+\yS) sur \(\,\RR).
</td>
<tr><td>
Dmontrons que<br>
Si \(a \lt 0) alors \(y_S) est le maximum de \(a*(x-x_S)^2+y_S) sur \(\,\RR).
</td><td>
Dmontrons que<br>
Si \(a \gt 0) alors \(y_S) est le minimum de \(a*(x-x_S)^2+y_S) sur \(\,\RR).
</td>
</tr></tr>
<td>
On suppose ici que \(a \lt 0)<br>
 \((x-x_S)^2) est un carr donc est positif ou nul,
donc \(a*(x-x_S)^2) est ngatif ou nul.
Dans \(a*(x-x_S)^2+y_S), on ajoute un nombre ngatif ou nul  \(y_S).
Le rsultat est donc infrieur ou gal  \(y_S).<br>
Par ailleurs, si \(x=x_S) alors \(a*(x-x_S)^2+y_S=y_S).<br>
Cela achve de dmontrer que :<br>
\(y_S) est le maximum de \(a*(x-x_S)^2+y_S) sur \(\,\RR).
</td><td>
On suppose ici que \(a \gt 0)<br>
 \((x-x_S)^2) est un carr donc est positif ou nul<br>
donc \(a*(x-x_S)^2) est aussi positif ou nul.<br>
Dans \(a*(x-x_S)^2+y_S), on ajoute un nombre positif ou nul  \(y_S).
Le rsultat est donc suprieur ou gal  \(y_S).
Par ailleurs, si \(x=x_S) alors \(a*(x-x_S)^2+y_S=y_S).
Cela achve de dmontrer que :<br>
\(y_S) est le minimum de \(a*(x-x_S)^2+y_S) sur \(\,\RR).
</td>
</table>
<p class="decal">
Les dmonstrations ci-dessus montrent que le point de coordonnes \((x_S ; y_S)
est le sommet de la parabole d'quation \(y=a*(x-x_S)^2+y_S).</p>
